Aula 23-24: Provas por absurdo (indireta)

Na postagem passada ilustrei o método da Prova Condicional (PC). Aqui vamos introduzir a prova por absurdo (ou Prova Indireta), que discutimos nas ultimas dois aulas. A ideia por atras dessa técnica, também conhecida como "reductio ad absurdum", é relativamente simples. Antes de apresentar a técnica, deixe-me ilustrar a intuição que a fundamenta.

A primeira coisa que deve ser considerada, é que as contradições são necessariamente falsas. Não é possível que você seja ao mesmo tempo e no mesmo sentido casada ou solteira, alto 170 cm e alto menos de 170 centímetros... etc. Podemos formalizar este principio dizendo que as proposições das seguente forma

... são sempre falsas. Neste caso, "sempre falsas" quer dizer "falsas por dodos os possíveis valores de verdade que a proposição p pode assumir (verdadeira ou falsa)".

A segunda coisa que debem notar, é que se uma proposição implica uma contradição, ela deve ser falsa. Todos nos aplicamos esse principio,  o "principio de não contradição", na nossa vida diária. Se, pro exemplo, alguém faz um conto contraditório, ou seja um conto do qual você pode derivar uma contradição, você vai concluir que ele ou ela esta mentindo. Se um imputado faz um conto contraditório dos fatos acontecidos numa aula de tribunal, por exemplo, a juiz vai suspeitar da inocência do imputado, porque vai deduzir que está mentindo, e isso é suspeito.

A ultima coisa que você deve considerar para intender as provas indiretas, é o fato (obvio) que se uma proposição é falsa, a sua negação deve ser verdadeira. Se é falso que a terra seja plana, por exemplo, então deve ser verdade que a terra NÃO é plana:

Juntando essas considerações, podemos concluir que SE uma proposição implica, uma contradição, ela deve ser falsa:

(demostrem a validade dessa inferência com o método das tabelas de verdade como exercício)


Agora, você lembrará que o método da prova condicional que ilustrei no ultimo post de logica permite derivar implicações a partir da assunções. Quando você "assume" uma proposição, você esta fingindo que ela seja verdadeira, para saber quais consequências ela tem. Se, assumindo a proposição p, usando as premissas do argumento, e as 7 regras de inferência + a regra de substituição, você pode deduzir uma proposição q, você pode deixar a "bolha de ficção" e voltar pela "realidade", adicionando a nova premissa que p implica q. Isso é parqué dizer que "p implica q" significa dizer que "SE p é verdadeira, então q também é verdadeira". Portanto, se assumindo p (fingindo que seja verdadeira) você conseguiu deduzir q, você sabe que, mesmo fora da ficção, p implica q.

O método da prova indireta (prova por absurdo)

Agora podemos ilustrar o método. Para provar a validade de um argumento, você começa assumindo (fingindo) que a conclusão seja falsa, ou seja assumindo a negação dela. Se você consegue derivar uma contradição a partir dessa assunção, você pode concluir que a conclusão deve ser verdadeira. Se assumindo a negação da conclusão você deriva uma contradição, você sabe que a negação da conclusão deve ser falsa. E se é falso que a conclusão é falsa, ela deve ser verdadeira. Como exemplo, vamos demostrar que uma instancia do modus ponens é um argumento valido (obviamente sem usar o mesmo modus ponens):

Para usar a tecnica da prova por absurdo, voce deve abrir uma "bolha de ficção", e assumir a negação da conclusão:

Na direita da linha 3, indiquei a justificação, que nesse caso é: "Assunção por prova indireita" (API). Lebre-se que issa é uma ficção, voce está meramente assumindo que ~B. Dentro dessa bolha, voce pode fingir que ~B seja verdadeiro, e derivar tudo o que está consentido pelas regras de inferencias (dadas as outras premissas (1 e 2). 

Dado que voce está tentando derivar uma contradição, uma estrategia consiste em aplicar o modus tollens á premissas 1 e 3:

Agora voce pode derivar uma contradição, usando a premissa 2 (A) e a ultima linha que voce derivou (~A):

Dado que voce conseguiu derivar uma contradição (A e ~A) a partir da assunção que ~B, voce pode sair da bolha e voltar pela realidade, e deduzir que ~B deve ser falsa, ou seja que ~(~B):

Note que não foi possível derivar direitamente B (mesmo se isso seria bastante obvio), porque a negação de ~B é ~(~B), e não B. Mas agora a ultima jogada é fácil, lembrando que as duas negações se anulam reciprocamente. Dado que  ~(~B) é logicamente equivalente a B,  e dado que a regra de substituição permite que você substituía qualquer formula por outra que seja logicamente equivalente, o exercício está resolvido com uma ultima jogada: