Aula 23: Provas condicionais

Provas condicionais

Na ultima aula introduzimos as provas condicionais. Assim é como isso funciona, ilustrado com um exercício. 

• Exercício de prova condicional

Produza uma prova formal por este argumento: 

Se João e Matheus estão culpados, então Kelly esta culpada. Matheus está culpado. Portanto, se João está culpado então Kelly está culpada. 

Formalização do argumento

A primeira coisa é individuar as premissas e a conclusão. Neste caso tem duas premissas: 

1. Se João e Matheus estão culpados, então Kelly esta culpada.

2. Matheus está culpado.

A conclusão, introduzida pelo indicador de conclusão "PORTANTO", é:

C.  Se João está culpado então Kelly está culpada. 

Agora que você individuou as premissas e a conclusão, você deve "formalizar" o argumento. Por isso, você deve formalizar cada premissa e a conclusão. O primeiro passo da formalização consiste em individuar as proposições atômicas dela, ou seja, as partes da frase que não contem conectivos lógicos (OU ---- OU, E, SE -----, ENTÃO ----, NÃO). 

Começamos por la primeira premissa. A forma dessa premissa é condicional: SE -----, ENTÃO -----. 

1. Se João e Matheus estão culpados, então Kelly esta culpada.

O antecedente (em azul) esta incluído entre a palavra "SE" e a palavra "ENTÃO". O conseguente (em vermelho), é a parte da frase que segue a palavra "ENTÃO". Notem que o antecedente (azul) não é uma proposição atômica, pois contem o conectivo "E" (uma conjunção): 

A frase "João e Matheus estão culpados" é a conjunção de dois proposições atômicas: "João está culpado" e  "Matheus está culpado". A estrutura da primeira premissa, portanto, é:

1.  SE (João está culpado E  Matheus está culpado), ENTÃO Kelly esta culpada.

Indiquei cada proposição atômica com uma cor diferente, e os contectivos logicos estão sublinhados. Isso é só para você entender como deveria proceder na formalização da premissa. (obviamente na prova voce não precisa usar cores diferentes). 

Agora que você explicitou a estrutura atômica da premissa, você pode escolher uma letra maiuscula (A, B.... Z) por cada proposição atômica. Por exemplo:

• João está culpado = J
• Matheus está culpado = M
• Kelly esta culpada = K

Usando as convenções que já vimos muitas vezes, a primeira premissa pode ser formalizada na seguente maneira:

A segunda premissa, "Matheus está culpado", é uma proposição atômica. Dado que já encontramos essa proposição na formalização da primeira premissa, não precisamos de uma nova letra para indica-la: Matheus está culpado = M. A estrutura das duas premissas é:

1.  SE (João está culpado E  Matheus está culpado), ENTÃO Kelly esta culpada.

2. Matheus está culpado

Estas duas premissas, portanto, podem ser formalizadas assim:

Para finalizar a formalização do argumento, só falta formalizar a conclusão: 

C.   SE João está culpado ENTÃO Kelly esta culpada 

Notem que, outra vez, as proposições atômicas que compõem a conclusão já foram encontradas nas premissas, e já escolhemos letras para indica-las. Estas são A formalização da conclusão, portanto, é a seguente: 

Agora voce tem todos os elementos para formalizar o argumento. Resumindo, o argumento é:

1.  SE (João está culpado E  Matheus está culpado), ENTÃO Kelly esta culpada.

2. Matheus está culpado

C.   SE João está culpado ENTÃO Kelly está culpada.

A formalização do argumento é:

Prova condicional

O objetivo do exercício é produzir uma prova formal deste argumento. Vomos fazer isso usando a técnica da prova condicional. Numa prova condicional, você pode assumir qualquer coisa. Feita uma assunção, você pode derivar todas as consequências dessa assunção, usando as regras de inferências e as premissas que você já tem. 

No nosso caso, devemos provar que SE João está culpado ENTÃO Kelly está culpada. Para fazer isso, assumimos que João está culpado. Dado que a segunda premissa é Matheus está culpado, a partir dessa premissa, você pode deduzir que: João está culpado E Matheus está culpado. Isso é exatamente o antecedente da primeira premissa. Aplicando o modus ponens, você pode deduzir que  Kelly está culpada. Resumindo, assumindo a verdade de João está culpado, deduzimos a verdade de Kelly está culpada. Isso prova que SE João está culpado ENTÃO Kelly está culpada, que é a conclusão do argumento. 

Formalmente, procedemos assim: 

Na linha 3 indicamos a assunção de J. Na direita dessa assunção, embaixo da conclusão, você deve indicar a justificação, que em esse caso é uma Assunção por Prova Condicional (APC). Agora, você pode derivar todas as consequências que pode derivar usando as premissas e as regras de inferência. Dado que você tem J (assunção 3) e M (premissa 2), você pode deduzir a conjunção delas:

Dado que a proposição 4 é o antecedente do condicional 1, você pode usar o modus ponens para derivar K:

Preste atenção aos passos 3-5. Voce começou assumindo J (em 3) e chegou a demostrar K (em 5). Isso quer dizer que SE J for verdadeiro, dadas as premissas, também K seria verdadeiro. Ou seja, voce demonstrou que J implica K. O exercício, portanto, pode ser resolto assim:

Isso conclui o exercicio. Notem que na ultima linha (6) indiquei as premissas que foram usadas (3 e 5) e a regra da Prova Condicional (PC).